薦：紅師教育軍隊(duì)文職人員招錄考試輔導(dǎo)教材·專業(yè)科目《數(shù)學(xué)2+物理》
排列組合一直是很多同學(xué)心中的陰影。仔細(xì)分析其實(shí)排列組合的題目在求解過(guò)程中對(duì)同學(xué)們的阻礙很大一部分來(lái)自做題時(shí)不同的同學(xué)可能做題的想法和順序有所差別，導(dǎo)致有些題目在求解過(guò)程中思考的相對(duì)復(fù)雜了些。思考的過(guò)程中太多的結(jié)合實(shí)際而不是在計(jì)算數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)致思路不清，計(jì)算復(fù)雜。今天我們一起來(lái)看一下排列組合中的插空法在應(yīng)用過(guò)程中應(yīng)該如何使用。
一、方法介紹
插空法在題目要求元素不相鄰時(shí)使用的方法。
例：現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五人要排成一排組成迎賓隊(duì)，問(wèn)組成甲、乙兩人不相鄰的迎賓隊(duì)的方法有多少種?
解：題目總的要求五人排隊(duì)，其中甲、乙兩人不能相鄰，此時(shí)可以先不安排甲、乙兩人，先安排好其他三人，此時(shí)有A(3,3)種方法，三人會(huì)構(gòu)造出四個(gè)空，現(xiàn)在只要將甲、乙兩人插到四個(gè)空中，甲、乙肯定就不會(huì)相鄰，因?yàn)楦淖兗?、乙的順序?qū)Y(jié)果有影響，所以有A(2,4)種安排甲、乙的方法，做這件事時(shí)分為兩步，故所求的方法數(shù)為A(3,3)×A(2,4)=3×2×1×4×3=72種方法。
小結(jié)：題目要求元素不相鄰時(shí)可用插空法。使用插空法時(shí)：先安排沒(méi)有要求的元素，再把要求不相鄰的元素插入已經(jīng)構(gòu)造出的空中即可。(注意改變?cè)仨樞驅(qū)Y(jié)果是否有影響)
二、能力提升
例1：現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4輛不同的車(chē)要停到8個(gè)相同的相鄰?fù)＼?chē)位中，問(wèn)：沒(méi)有相鄰?fù)＼?chē)位的停車(chē)方法共有多少種?
解：題目要求在8個(gè)停車(chē)位中選4個(gè)停4輛不同的車(chē)，按生活經(jīng)驗(yàn)，大部分同學(xué)考慮到車(chē)可以動(dòng)，車(chē)位不可動(dòng)，在做此題時(shí)會(huì)去停車(chē)。但是實(shí)際上，此題要求4個(gè)空車(chē)位不相鄰，可以使用插空法且按插空法的應(yīng)用步驟，先停好車(chē)會(huì)有A(4,4)種方法，而且4輛車(chē)肯定會(huì)占用4個(gè)車(chē)位，而且4輛車(chē)會(huì)構(gòu)造出5個(gè)空，接下來(lái)只要從5個(gè)空中選4個(gè)空將4個(gè)空車(chē)位插入即可(因?yàn)檐?chē)位都相同，改變順序?qū)Y(jié)果無(wú)影響)有C(4,5)種方法，此題分為兩步所以共有A(4,4)×C(4,5)=4*3*2*1*5=120種方法。
例2：某籃球隊(duì)12個(gè)人的球衣號(hào)碼是從4到15的自然數(shù)，如從中選出3個(gè)人參加三對(duì)三籃球比賽。則選出的人中沒(méi)有任意兩人號(hào)碼相鄰的方法數(shù)有多少種?
解：題目要求從12個(gè)號(hào)碼中選三個(gè)號(hào)碼，且要求號(hào)碼不能相鄰。大部分同學(xué)在求解釋會(huì)考慮取號(hào)碼，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)過(guò)程相對(duì)復(fù)雜。其實(shí)題目要求選出的3個(gè)號(hào)碼不能相鄰，符合插空法的應(yīng)用條件且按插空法的應(yīng)用步驟，先不考慮取出的號(hào)碼為幾號(hào)，只從12件球衣中拿出3件，此時(shí)還剩9件球衣，會(huì)構(gòu)造出10個(gè)空，接下來(lái)只要將提前拿出的3件球衣插到空中即可(號(hào)碼順序固定，改變順序?qū)Y(jié)果無(wú)影響)有C(3,10)=(10*9*8)/(3*2)=120種方法。
最后，排列組合中的插空法只是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，大家在應(yīng)用過(guò)程中不用太聯(lián)系實(shí)際，只要能滿足題目要求可使用，應(yīng)用過(guò)程中要注意應(yīng)用此方法的條件和步驟。
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