解放軍文職招聘考試巴比倫的數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:07:38巴比倫的數(shù)學(xué)巴比倫人和埃及人一樣，是首先對(duì)數(shù)學(xué)的萌芽作出貢獻(xiàn)的民族，對(duì)其原始數(shù)學(xué)內(nèi)容的考證，大部分來(lái)自近百年來(lái)考古研究的結(jié)果．一、記數(shù)法與進(jìn)位制一百多年前，人們發(fā)現(xiàn)巴比倫人是用楔形文字(Cuneiform)來(lái)記數(shù)的．他們是用頭部呈三角形的木筆把字刻寫(xiě)在軟泥板上，然后，用火燒或曬干使它堅(jiān)如石，以便保存下來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)交流．由于字的形狀象楔子，所以人們稱為楔形文字．他們用垂直的楔形來(lái)表示1，如 ．用末端二個(gè)橫向楔形表示10，如 ．用記號(hào) 表示35．用記號(hào) 表示9，后來(lái)簡(jiǎn)化為 ．以上可以看出，巴比倫人創(chuàng)建的數(shù)的體系與埃及、羅馬數(shù)字頗為相似．但是，值得我們注意的是巴比倫人已經(jīng)有了位值制的觀念，通常為60進(jìn)制．這種認(rèn)識(shí)的主要根據(jù)是地質(zhì)學(xué)家勞夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森開(kāi)萊(現(xiàn)在的拉山或拉莎)發(fā)掘出漢穆拉比時(shí)代的泥板書(shū)，上面記載著一串?dāng)?shù)字，前7個(gè)是1，4，9，16，25，36，49，之后中斷，而在應(yīng)該是64的地方，看到的卻是1 4，其后接著寫(xiě)出1 21，再后是2 24，直到最后寫(xiě)的是58 1．這個(gè)數(shù)列只有假定其為60進(jìn)位時(shí)，才能很自然接續(xù)，即：1 4＝60＋4＝64=82，1 21=60＋21＝81＝92，58 1=58 60＋1＝3481＝592．應(yīng)該指出，巴比倫人的位值制有時(shí)也不甚明確；因?yàn)橥暾奈恢抵朴洈?shù)法，必須有表示零的記號(hào)，但在早期的泥板書(shū)上尚沒(méi)有發(fā)現(xiàn)零號(hào)．例如，(5 6 3)可表示5 602＋6 60＋3＝18363，也可表 下文來(lái)分析、確定．古巴比倫的60進(jìn)位法之產(chǎn)生年代是相當(dāng)久遠(yuǎn)的．但據(jù)有的材料記載，早期的蘇默人是不知道60進(jìn)位制的．從他們所用的數(shù)學(xué)符號(hào)中可以看出，大約在公元前3000年以前，是用以下記號(hào)來(lái)記數(shù)的：1，10，60的記號(hào)是用頭部是圓形的木筆刻成，而1和60的記號(hào)都是半圓形，只是大小不一樣，10的記號(hào)是圓形，600的記號(hào)是10和到了公元前2000年左右，開(kāi)始使用楔形文字，以此又建立一套數(shù)的記號(hào)，不妨做如下比較：通過(guò)如上二種數(shù)碼的表示法之比較，不難看出，巴比倫采用60進(jìn)制是很自然的①．二、算術(shù)運(yùn)算由于巴比倫從1到59的數(shù)碼都是以1和10或更多一些數(shù)的記號(hào)為基本記號(hào)結(jié)合而成的，因此，在此范圍內(nèi)的加減法不過(guò)是加上或去掉某種記號(hào)罷了．巴比倫人對(duì)整數(shù)的乘法，采取了 分乘相加 的方法．例如，某數(shù)乘以27，他們先乘20，再乘7，然后把結(jié)果相加，最后得出結(jié)果．他們還造出了一些乘法表．(左邊是巴比倫人的記號(hào)，右邊用現(xiàn)代符號(hào)表示)巴比倫人在做整數(shù)除以整數(shù)時(shí)，采用了乘以倒數(shù)的方法，并且還造出了倒數(shù)表．巴比倫人研究了數(shù)的平方和開(kāi)平方、立方和開(kāi)立方的問(wèn)題．當(dāng)方根是整數(shù)時(shí)，給出了準(zhǔn)確的值．對(duì)于其它方根，由于采用60進(jìn)位制，只能是近似值．并造出了簡(jiǎn)單的平方、平方根、立方、立方根表．巴比倫人也曾給出了求a2＋b型的方根近似公式：數(shù)大．到了希臘時(shí)期，著名數(shù)學(xué)家阿基米德(Archi－medes)、海倫(Heron)創(chuàng)造出了平方后比原數(shù)小的近似公式．三、代巴比倫人不但具有數(shù)系和數(shù)字運(yùn)算的一些知識(shí)，他們也具有處理一般代數(shù)問(wèn)題的能力．例如：在賽凱萊(Senkereh)出土的古巴比倫(漢穆拉比王朝時(shí)期)的原典AO8862，記載著下面的問(wèn)題：(用現(xiàn)代語(yǔ)言敘述)一塊長(zhǎng)方形土地面積加上長(zhǎng)與寬之差為3.3①(即183)，而長(zhǎng)與寬之和為27，這塊地的長(zhǎng)、寬、面積各幾何？(1)古巴比倫人的解法：(按60進(jìn)制計(jì)算)27＋3.3=3.302＋27=2929 2＝14.3014；30 14；30＝3.30；153.30；15-3.30＝0；150；15的平方根是0；3014；30＋0；30=15 (長(zhǎng))14；30-0；30=14因?yàn)樵瓉?lái)是將27加上2，現(xiàn)在應(yīng)從14減2，則寬是14－2= 12故得到，15 12＝3.0(面積)15-2＝133.0＋3＝3.讀者可以辨認(rèn)，以上例題的解法是從6行到29行之間，是用楔形文字書(shū)寫(xiě)的．(2)如果用現(xiàn)代的列二元一次方程組的方法解，則很簡(jiǎn)便．設(shè)長(zhǎng)為x，寬為y，可列成如下方程組：從AO8862原典的最后一行的結(jié)果看出，x＝15，y＝12是滿足方程組(1)的解的．在前面解題時(shí)，實(shí)際上是用新的寬y"代替原寬y，即：y"=y+2，y=y"-2．使用如上這種代換方法，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化了．代換后，可得到新的二元一次方程組：把方程組(2)的第1式加到方程組(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地寫(xiě)著)27+3.3=3.302+27＝29之后，繼續(xù)解方程組(2)．從上邊的具體問(wèn)題求解中，我們可以悟出解方程組的一般方法，用現(xiàn)代符號(hào)表示，可謂：其解為：巴比倫人求解的各個(gè)步驟是符合解方程組的一般方法的，但是，他們沒(méi)有給出求解的一般公式．在巴比倫人利用楔形文字撰寫(xiě)的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由兩正方形并組成一個(gè)面積為1000，一正方形邊為另一正方形邊的巴比倫人是按如下方法求解的：(用現(xiàn)代符號(hào)表示)設(shè)兩個(gè)正方形邊長(zhǎng)分別為x，y．得到一個(gè)正整數(shù)解為：x＝30．以上說(shuō)明巴比倫人在漢穆拉比時(shí)代已經(jīng)掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算術(shù)方法求解．巴比倫人對(duì)簡(jiǎn)單的三次和四次方程也求解過(guò)．例如在原典中有這樣的題目：一個(gè)立方體，其體積為長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，體積為V，實(shí)際上是求解方程組解此方程組，涉及算立方根問(wèn)題，巴比倫人用數(shù)表來(lái)求解(見(jiàn)算術(shù)運(yùn)算部分的數(shù)表)．四、幾何在古巴比倫時(shí)期，常常把幾何問(wèn)題化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決．在他們心目中，幾何似乎不占有重要位置．但是，在20世紀(jì)中葉布爾昂(E．M．Buuins)博士和魯達(dá)(M．Rutten)撰寫(xiě)的《斯薩數(shù)學(xué)書(shū)》(Textes math matiques de Suse，M moiresMission arch ol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯薩出土的古巴比倫的楔形文字原典中，含有求正多邊形和圓的面積的近似公式，說(shuō)明古巴比倫人對(duì)幾何問(wèn)題也有一定的興趣．例如，在拉爾薩(Larsa)出土的古巴比倫原典VAT8512中，有下面的問(wèn)題(用現(xiàn)代符號(hào)和語(yǔ)言敘述)．已知底邊b＝30的三角形，由平行于底的直線把其分成兩部分，即高分別為h1、h2的梯形F1和三角形F2，且面積F1-F2＝S＝7.0 h2-h1=h＝20，求割線長(zhǎng)(x)．由以上條件，可建立如下關(guān)系式：由圖2．3可知，比例式h2∶h1=x∶(b-x) (5)成立．根據(jù)以上條件，可解出x，即：由上可知，巴比倫人建立的關(guān)于x，h1，h2的關(guān)系式是正確的．但是，還沒(méi)有理由(證據(jù))說(shuō)明以上是一種純粹代數(shù)的推演．?dāng)?shù)學(xué)史家尤伯爾(P．Huber)對(duì)(4)式做了如下解釋(Isis Vol46，p104)：如果在三角形一邊加一個(gè)長(zhǎng)為h1＋h2的長(zhǎng)方形，拼成一個(gè)上、下底邊長(zhǎng)分別為c和a＝c＋b的梯形，延長(zhǎng)割線x，把此梯形分成兩部分，如圖2．4其面積差為：(F1-F2)-c(h2-h1)＝s-ch．的面積分成二等分z，并給出(參考MKT I，p131)可得到(6)式的證明：按照尤伯爾的解釋，以上的解法思路是幾何學(xué)的思想，而不是代數(shù)的．巴比倫人很早就知道畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，并能應(yīng)用此定理解決具體的、比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，在古巴比倫的數(shù)學(xué)原典中有記載，并使用了1500年之久，直到賽萊烏科斯王朝時(shí)代(公元前310年以后)的著作中，仍有記載．巴比倫人也會(huì)求棱柱、圓柱、棱臺(tái)、圓臺(tái)的體積，他們用高乘以兩底面積和的一半的方法進(jìn)行計(jì)算．
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發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 19:24:29阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是指7世紀(jì)伊斯蘭教興起后，崛起于阿拉伯半島，建立在橫跨亞、非、歐三洲的阿拉伯帝國(guó)統(tǒng)治下各民族所開(kāi)創(chuàng)的數(shù)學(xué)．通常所謂伊斯蘭國(guó)家的數(shù)學(xué)或中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)也是指阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．在伊斯蘭國(guó)家里，科學(xué)文化的發(fā)展是許多民族的學(xué)者共同勞動(dòng)的結(jié)果，數(shù)學(xué)也不例外．他們是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希臘人、敘利亞人、摩爾人、猶太人和阿拉伯人，等等．他們大都是伊斯蘭教徒．講到這一時(shí)期這一地區(qū)的數(shù)學(xué)，沒(méi)有很恰當(dāng)?shù)脑~語(yǔ)來(lái)表述，由于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)著作都是用阿拉伯文撰寫(xiě)的，一般就統(tǒng)稱為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．上述各民族的學(xué)者有時(shí)也統(tǒng)稱為阿拉伯人．公元6世紀(jì)以前，阿拉伯人過(guò)著游牧部落生活．當(dāng)時(shí)阿拉伯半島盛行多神崇拜，各部落間戰(zhàn)爭(zhēng)連綿不斷．由于東西商路改道，社會(huì)經(jīng)濟(jì)日趨衰落，要求改變這種社會(huì)狀況和實(shí)現(xiàn)政治統(tǒng)一，成為各部落的共同愿望．伊斯蘭教的創(chuàng)始人默罕穆德(Mvhammad，約570 632)，出生于阿拉伯半島麥加城的一個(gè)沒(méi)落貴族家庭，早年曾隨商隊(duì)到過(guò)敘利亞等地，后來(lái)回到麥加城經(jīng)商．公元610年，在麥加開(kāi)始創(chuàng)傳以信仰一神為中心的伊斯蘭教．后因遭到多神教徒的反對(duì)和迫害，于公元622年秘密出走麥地那．他在那里組織了一個(gè)接受伊斯蘭教的阿拉伯部落聯(lián)盟，號(hào)召所有伊斯蘭教徒 穆斯林，不分部落，都是兄弟，使各部落的人超越血緣的狹隘界限以共同的信仰為紐帶團(tuán)結(jié)起來(lái)．伊斯蘭教就這樣在阿拉伯半島創(chuàng)立并迅速傳播開(kāi)去，成為團(tuán)結(jié)阿拉伯人的一種力量．阿拉伯部落統(tǒng)一后，形成了一個(gè)威勢(shì)很大的軍事力量．在 與異教斗爭(zhēng) 的神圣口號(hào)下，迅速向東方和西方的富饒國(guó)家入侵，并在被征服的國(guó)家里普及了伊斯蘭教．不到一個(gè)世紀(jì)，阿拉伯人就占領(lǐng)并統(tǒng)治了幾乎整個(gè)比利牛斯半島、所有地中海沿岸的非洲國(guó)家、近東地區(qū)、高加索和中亞細(xì)亞，形成了一個(gè)橫跨歐、亞、非三洲的強(qiáng)大的阿拉伯帝國(guó)．我國(guó)歷史上稱之為大食國(guó)．由于哈利發(fā)政權(quán)的對(duì)立斗爭(zhēng)，在8世紀(jì)中葉，大食國(guó)分裂為東大食和西大食．東大食的首都是巴格達(dá)，西大食的首都是科爾多瓦(Cordova)．公元1000年到1300年之間，基督教十字軍東侵，把穆斯林逐出圣地．13世紀(jì)初，成吉思汗率蒙古部隊(duì)西征．13世紀(jì)中葉，成吉思汗之孫旭烈兀再次率兵西征，占領(lǐng)了原來(lái)阿拉伯哈利發(fā)在亞洲的所有領(lǐng)土，創(chuàng)立了伊兒汗國(guó)．蒙古人征服了這些伊斯蘭國(guó)家后不久，他們自己也都皈依了伊斯蘭教．到了14、15世紀(jì)，在中亞又出現(xiàn)了另一個(gè)蒙古帝國(guó) 帖木耳國(guó)．12世紀(jì)末，西班牙人推翻最后一個(gè)摩爾人的統(tǒng)治，阿拉伯人失去了他們?cè)跉W洲的立足點(diǎn)．在阿拉伯帝國(guó)的統(tǒng)治下，被征服的民族很快轉(zhuǎn)向伊斯蘭教．同時(shí)，阿拉伯語(yǔ)很快成為各國(guó)通行的語(yǔ)言，在知識(shí)界成為學(xué)術(shù)交流的工具．這和中世紀(jì)西方各國(guó)把拉丁語(yǔ)作為通用語(yǔ)言一樣．阿拉伯人和其它民族的人民共同創(chuàng)造了新的、別具一格的文化．當(dāng)時(shí)歐洲正處在漫長(zhǎng)的黑暗時(shí)期，阿拉伯世界的科學(xué)文化卻后來(lái)居上，成為當(dāng)時(shí)的人類科學(xué)文化中心之一．8世紀(jì)中葉至9世紀(jì)初，出現(xiàn)了幾位熱心提倡科學(xué)的哈利發(fā)：曼蘇爾(al－Mansur，712 775)，阿倫 賴世德(Hārūnar－Rashid， 765 809)，馬蒙(al－Mamun， 786 833)等．在他們的大力支持和鼓勵(lì)下，設(shè)立學(xué)校、圖書(shū)館和觀象臺(tái)．在東阿拉伯形成了以巴格達(dá)為首的學(xué)術(shù)中心．哈利發(fā)馬蒙在巴格達(dá)創(chuàng)辦了著名的 智慧館 (Bayt al－Hikmah)．這是自公元前 3世紀(jì)亞歷山大博物館之后最重要的學(xué)術(shù)機(jī)關(guān)，除用作翻譯館外，還起到科學(xué)院和公共圖書(shū)館的作用，它還附設(shè)一座天文臺(tái)．在這里，大量的波斯、希臘和印度的古典著作被系統(tǒng)地譯為阿拉伯文．哈利發(fā)還組織力量對(duì)這些著作進(jìn)行廣泛而深入的研究．就這樣，東西方的文華精華被融合在一起，出現(xiàn)了一個(gè)學(xué)術(shù)繁榮時(shí)期．阿拉伯的數(shù)學(xué)研究就從這里開(kāi)始．從8世紀(jì)起，大約有一個(gè)到一個(gè)半世紀(jì)是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的翻譯時(shí)期．由于阿拉伯人能夠控制或取得拜占庭帝國(guó)、埃及、敘利亞、波斯及印度諸國(guó)的人才和文化，所以他們得以接觸幾乎所有的古代重要著作．歐幾里得(Euclid，約公元前330 前275)、阿基米德(Archimedes，公元前287 前212)、阿波羅尼奧斯(Apollonius，約公元前262 前190)、海倫(Heron ofAlexandria，約62年)、托勒密(Ptolemy，約100 約170)、丟番圖(Diophantus，250)、以及婆羅摩笈多(Brahmagupta，598 665)等著名學(xué)者的數(shù)學(xué)和天文學(xué)著作都被譯成阿拉伯文．在翻譯過(guò)程中，許多文獻(xiàn)被重新校訂、考證、勘誤、增補(bǔ)和注釋．這樣一來(lái)，大量的古代科學(xué)遺產(chǎn)獲得了新生．已經(jīng)荒廢了幾個(gè)世紀(jì)的古代學(xué)者的著作又重新成為人們手頭的教材．當(dāng)古希臘的原著失傳之后，這些阿拉伯文譯本就成為后來(lái)歐洲人了解古希臘數(shù)學(xué)的主要來(lái)源，而許多古希臘時(shí)期的著作也正是通過(guò)它們的阿拉伯文譯本才得以流傳下來(lái)．在上述漫長(zhǎng)而有效的翻譯時(shí)期之后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)出現(xiàn)了一個(gè)創(chuàng)造性的活躍時(shí)期．阿拉伯人不僅繼承了古典科學(xué)遺產(chǎn)，而且使之適合自己的特殊需要和思想方法．他們吸取和保存了希臘和印度數(shù)學(xué)的精華，加上他們自己的創(chuàng)造性勞動(dòng)，建立起獨(dú)具風(fēng)格的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．他們的貢獻(xiàn)為世界數(shù)學(xué)寶庫(kù)增添了光彩．阿拉伯人引進(jìn)了印度數(shù)字及其記數(shù)法，利用古代數(shù)學(xué)方法廣泛地解決了一系列計(jì)算，特別是天文計(jì)算問(wèn)題．他們的近似計(jì)算達(dá)到了很高的精確度．在代數(shù)學(xué)方面，他們建立了一元二次方程的一般解法，三次方程的幾何解法，并把代數(shù)學(xué)明確地定義為 解方程的科學(xué) ．他們的工作為代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了方向．在三角學(xué)方面，他們引進(jìn)了幾種新的三角函數(shù)，建立了若干三角公式，制造了大量的三角函數(shù)表．更重要的是，三角學(xué)通過(guò)他們的工作開(kāi)始脫離天文學(xué)而獨(dú)立．阿拉伯人為證明歐幾里得第五公設(shè)作過(guò)多次嘗試，推進(jìn)了平行線理論的研究．阿拉伯的數(shù)學(xué)著作具有自己的風(fēng)格．許多著作十分注意證明的論據(jù)，材料的系統(tǒng)安排和敘述的清晰性．大量書(shū)籍中都會(huì)見(jiàn)到具有東方民族特點(diǎn)的豐富有趣的例題和習(xí)題，這些問(wèn)題往往具有十分新穎的實(shí)際內(nèi)容．
解放軍文職招聘考試抽象代數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育
發(fā)布時(shí)間：2017-11-22 20:14:45抽象代數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大部門(mén)．它們構(gòu)成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與核心．沒(méi)有代數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)(除了那些較為孤立的、相對(duì)地講不太重要的學(xué)科)可以說(shuō)寸步難行．抽象代數(shù)學(xué)或近世代數(shù)學(xué)是在20世紀(jì)初發(fā)展起來(lái)的．1930 1931年范 德 瓦爾登(B．L．vander Waerden，1903 )的《近世代數(shù)學(xué)》(Moderne Algebra)一書(shū)問(wèn)世，在數(shù)學(xué)界引起轟動(dòng)，由此之后，抽象代數(shù)學(xué)或近世代數(shù)學(xué)成為代數(shù)學(xué)的主流，不久之后也就理所當(dāng)然地把 抽象 及 近世 的帽子甩掉，堂爾皇之成為代數(shù)的正統(tǒng)．范 德 瓦爾登的書(shū)至今仍然是代數(shù)學(xué)的模式．它是根據(jù)德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家E．諾特(E．Noether，1882 1935)和德國(guó)數(shù)學(xué)家阿廷(E．Artin，1898 1962)的講義編寫(xiě)而成，在精神上基本來(lái)源于他們兩位，特別是諾特，被公認(rèn)為 近世代數(shù)學(xué)之母 ．在諾特之前，不少大數(shù)學(xué)家都對(duì)近世代數(shù)學(xué)有過(guò)這樣或那樣的貢獻(xiàn)，但是這種與經(jīng)典代數(shù)學(xué)迥然不同的思想主要來(lái)源于戴德金和希爾伯特，戴德金不僅引進(jìn)大多數(shù)抽象代數(shù)觀念 如理想、模、環(huán)、格等，而且初步研究它們的結(jié)構(gòu)及分類，而希爾伯特的抽象思維方式及公理方法則對(duì)現(xiàn)代整個(gè)數(shù)學(xué)都有舉足輕重的影響．抽象代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象與研究目標(biāo)與經(jīng)典代數(shù)學(xué)有著根本的不同：經(jīng)典代數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)是求解代數(shù)方程和代數(shù)方程組，而抽象代數(shù)學(xué)的目標(biāo)則是研究具有代數(shù)結(jié)構(gòu)的集合的性質(zhì)，刻劃它們并加以分類，這些對(duì)象是用公理定義的．1．域論從古代起，人們就已經(jīng)熟悉有理數(shù)和它們的運(yùn)算 加法和乘法．這些運(yùn)算滿足加法交換律和加法結(jié)合律，乘法交換律和乘法結(jié)合律，以及分配律，而且對(duì)于加法存在零元素(0)及逆元素(倒數(shù))．所有有理數(shù)的集合是人們最早認(rèn)識(shí)的具體的域，后來(lái)也知道實(shí)數(shù)集合、復(fù)數(shù)集合同樣滿足上述公理，它們也是城．除了這些最熟悉的域之以，在19世紀(jì)研究得最多的域是代數(shù)數(shù)域，這些都是含有無(wú)窮多元素的數(shù)域．有沒(méi)有有限多個(gè)元素的域呢？1830年伽羅瓦已知有有限多個(gè)元素的域(后來(lái)被稱為伽羅瓦域)，其元素被稱為伽羅瓦虛數(shù)，它們滿足pa＝0，其中p是一個(gè)素?cái)?shù)，p稱為域的特征．伽羅瓦曾具體證明，在一個(gè)特征為p的伽羅瓦域中，元素個(gè)數(shù)是p的一個(gè)冪．如在當(dāng)時(shí)的情況一樣，伽羅瓦所作的一切都是有具體表示的．到19世紀(jì)末，人們知道其他域的例子還有有理函數(shù)域及代數(shù)函數(shù)域．從整體結(jié)構(gòu)上對(duì)域進(jìn)行考察始自戴德金及克羅內(nèi)克對(duì)代數(shù)數(shù)域的研究(從1855年起)．但抽象域的觀念則來(lái)自德國(guó)數(shù)學(xué)家韋伯(H．Weber，1842 1913)，他的思想來(lái)自抽象群的觀念．后來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)家狄克遜(L．E．Dickson，1874 1954)及亨廷頓(E．V．Huntington，1874 1952)給出域的獨(dú)立的公理系統(tǒng)．在韋伯的影響下，德國(guó)數(shù)學(xué)家施泰尼茨(E．Steinitz，1871 1928)在1910年發(fā)表《域的代數(shù)理論》一文，為抽象域論奠定了基礎(chǔ)．他把域分為兩種類型：一種是特征為p的域，也即對(duì)所有元素a滿足pa＝0的域，它們一定包含最小的城(稱為素域)，最小的域一定是只含p個(gè)元素的伽羅瓦域．另一種是不存在這種p的域，稱為特征0，其素域一定是有理數(shù)域．不管域?qū)儆谀囊环N類型，任何域均可由素域添加一些新元素 擴(kuò)張 而成．所以域的根本問(wèn)題是研究域的擴(kuò)張．他對(duì)擴(kuò)張進(jìn)行了分類，其中主要的一類是添加系數(shù)在原域中的多項(xiàng)式的根后所得的擴(kuò)張(代數(shù)擴(kuò)張)．當(dāng)一個(gè)域通過(guò)代數(shù)擴(kuò)張不能再擴(kuò)大時(shí)稱為代數(shù)封閉域．施泰尼茨證明，每個(gè)域均有唯一的代數(shù)封閉域．特別他還對(duì)特征p一般域脅許多特殊性質(zhì)如不可分性、不完全性進(jìn)行研究．關(guān)于抽象有限域，已經(jīng)有了相當(dāng)完整的結(jié)果：1893年美國(guó)數(shù)學(xué)家莫爾(E．H．Moore，1862 1932)證明，任何一有限域必定與某一個(gè)伽羅瓦域同構(gòu)．反過(guò)來(lái)，對(duì)于任意素?cái)?shù)p和正整數(shù)a，必定存在唯一一個(gè)伽羅瓦域，具有pa個(gè)元素．有限域理論在數(shù)論、編碼理論、組合理論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方面有著許多應(yīng)用．在域論中引進(jìn)p進(jìn)域是一個(gè)重大成就．德國(guó)數(shù)學(xué)家亨澤爾(K．Hensel，1861 1941)在1908年出版的《代數(shù)數(shù)論》(Theorie der algebraischen Zahlen)中系統(tǒng)闡述了p進(jìn)數(shù)，他對(duì)這種數(shù)規(guī)定了加、減、乘、除四種基本運(yùn)算，構(gòu)成一個(gè)域稱p進(jìn)域，而它是有理數(shù)域的一個(gè)完備化，如同實(shí)數(shù)域一樣．但是與實(shí)數(shù)域性質(zhì)的一個(gè)很大的不同是實(shí)數(shù)域具有阿基米德性質(zhì)，也就是對(duì)任何兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b總存在一個(gè)正整數(shù)n，使na＞b．p進(jìn)域雖然也有一個(gè)自然的順序，但卻沒(méi)有阿基米德性質(zhì)．pˉ進(jìn)數(shù)域是一種 局部 域，在它里面也可定義整數(shù)及代數(shù)數(shù)，它的建立大大有助于數(shù)論的發(fā)展．亨澤爾之后，抽象賦值論得到發(fā)展，在代數(shù)數(shù)論及代數(shù)幾何學(xué)上有著重要應(yīng)用．抽象理論的建立不僅使已有的零散知識(shí)系統(tǒng)化，而且有助于許多問(wèn)題的解決，1927年阿廷解決希爾伯特第17問(wèn)題就是靠他引進(jìn)抽象的實(shí)域(他稱為形式實(shí)域)．實(shí)域k是把實(shí)數(shù)域的一個(gè)特性抽象化：即-1不能表示為k中元素的平方和．通過(guò)這個(gè)概念，他證明 任何正定有理函數(shù)都可表示為有理函數(shù)平方和 ．2．環(huán)論環(huán)的概念原始雛型是整數(shù)集合．它與域不同之處在于對(duì)于乘法不一定有逆元素．抽象環(huán)論的概念來(lái)源一方面是數(shù)論，整數(shù)的推廣 代數(shù)整數(shù)具有整數(shù)的許多性質(zhì)，也有許多不足之處，比如唯一素因子分解定理不一定成立，這導(dǎo)致理想數(shù)概念的產(chǎn)生．戴德金在1871年將理想數(shù)抽象化成 理想 概念，它是代數(shù)整數(shù)環(huán)中的一些特殊的子環(huán)．這開(kāi)始了理想理論的研究，在諾特把環(huán)公理化之后，理想理論被納入環(huán)論中去．環(huán)的概念的另一來(lái)源是19世紀(jì)對(duì)數(shù)系的各種推廣．這最初可追溯到1843年哈密頓關(guān)于四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)．他的目的是為了擴(kuò)張用處很大的復(fù)數(shù)．它是第一個(gè) 超復(fù)數(shù)系 也是第一個(gè)乘法不交換的線性結(jié)合代數(shù)．它可以看成是實(shí)數(shù)域上的四元代數(shù)．不久之后凱萊得到八元數(shù)，它的乘法不僅不交換，而且連結(jié)合律也不滿足，它可以看成是第一個(gè)線性非結(jié)合代數(shù)．其后各種 超復(fù)數(shù) 相繼出現(xiàn)．1861年，魏爾斯特拉斯證明，有限維的實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的可除代數(shù)，如滿足乘法交換律，則只有實(shí)數(shù)及復(fù)數(shù)的代數(shù)(1884年發(fā)表)．1870年戴德金也得出同樣結(jié)果(1888年發(fā)表)．1878年弗洛賓尼烏斯(F．G．Frobenius，1849 1917)證明實(shí)數(shù)域上有限維可除代數(shù)只有實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)及實(shí)四元數(shù)的代數(shù)．1881年小皮爾斯也獨(dú)立得到證明．1958年用代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)方法證明，實(shí)數(shù)域上有限維可除代數(shù)，連非結(jié)合可除代數(shù)也算在內(nèi)，只有1，2，4，8這四種已知維數(shù)．可見(jiàn)實(shí)數(shù)域及復(fù)數(shù)域具有獨(dú)特的性質(zhì)．關(guān)于域上線性結(jié)合代數(shù)的研究在19世紀(jì)末處于枚舉階段，1870年老皮爾斯(B．Peirce，1809 1880)發(fā)表《線性結(jié)合代數(shù)》，列舉6維以下的線性結(jié)合代數(shù)162個(gè)．他還引進(jìn)冪零元與冪等元等重要概念為后來(lái)的結(jié)構(gòu)理論奠定基礎(chǔ)．1898年、嘉當(dāng)(E．Cartan)在研究李代數(shù)的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，對(duì)于結(jié)合代數(shù)進(jìn)行類似的研究，1900年，德國(guó)數(shù)學(xué)家摩林(T．Molien，1861 1941)征明，復(fù)數(shù)域上維數(shù) 2的單結(jié)合代數(shù)都與復(fù)數(shù)域上適當(dāng)階數(shù)的矩陣代數(shù)同構(gòu)．線性結(jié)合代數(shù)的結(jié)構(gòu)定理是1907年由美國(guó)數(shù)學(xué)家魏德本(J．HM．Wedderburn，1882 1948)得出的：線性結(jié)合代數(shù)可以分解為冪零代數(shù)及半單代數(shù)，而半單代數(shù)又可以表示為單代數(shù)的直和．單代數(shù)可表為域上可除代數(shù)的矩陣代數(shù)．這樣結(jié)合代數(shù)就歸結(jié)為可除代數(shù)的研究．可除代數(shù)有著以下的結(jié)果．1905年魏德本證明：有限除環(huán)都是(交換)域，也即伽羅瓦域．當(dāng)時(shí)除了伽羅瓦域及四元數(shù)之外，不知道有別的除環(huán)．20世紀(jì)雖然發(fā)現(xiàn)了一些新的除環(huán)，但除環(huán)的整個(gè)理論至今仍不完善．從線性結(jié)合代數(shù)到結(jié)合環(huán)的過(guò)渡是阿廷完成的．1928年，阿廷首先引進(jìn)極小條件環(huán)(即左、右理想滿足降鍵條件的環(huán)，后稱阿廷環(huán))，證明相應(yīng)的結(jié)構(gòu)定理．對(duì)于半單環(huán)的分類，雅可布孫(N.Jacobson，1910 )創(chuàng)立了他的結(jié)構(gòu)理論．他認(rèn)為對(duì)任意環(huán)均可引進(jìn)根基的概念，而對(duì)阿廷環(huán)來(lái)說(shuō)，根基就是一組真冪零元．對(duì)于非半單的阿廷環(huán)(主要出現(xiàn)于有限群的模表示中)，如福洛賓尼烏斯代數(shù)及其推廣也有許多獨(dú)立的研究．而與阿廷環(huán)對(duì)應(yīng)的是諾特環(huán)，對(duì)于有么無(wú)的環(huán)，秋月康夫(1902 1984)及霍普金斯(C．H opkins)證明阿廷環(huán)都是諾特環(huán)．對(duì)于諾特環(huán)，卻長(zhǎng)期沒(méi)有相應(yīng)的結(jié)構(gòu)理論．一直到1958年英國(guó)數(shù)學(xué)家戈?duì)柕?A．W．Gold－ie)才取得突破，他證明任何諾特半素環(huán)都有一個(gè)阿廷半單的分式環(huán)，這才促進(jìn)了新研究．與諾特環(huán)平行發(fā)展的是滿足多項(xiàng)式等式的環(huán)．近來(lái)環(huán)表示論及同調(diào)方法的應(yīng)用對(duì)結(jié)合環(huán)理論有極大促進(jìn)．環(huán)論的另一來(lái)源是代數(shù)數(shù)論及代數(shù)幾何學(xué)及它們導(dǎo)致的交換環(huán)理論．1871年戴德金引進(jìn)理想概念，開(kāi)創(chuàng)了理想理論．環(huán)這個(gè)詞首先見(jiàn)于希爾伯特的數(shù)論報(bào)告．代數(shù)幾何學(xué)的研究促使希爾伯特證明多項(xiàng)式環(huán)的基定理．在本世紀(jì)初英國(guó)數(shù)學(xué)家臘斯克(E．Lasker，1868 1941)及麥考萊(F．S．Macaulay，1862 1937)對(duì)于多項(xiàng)式環(huán)得出分解定理．對(duì)于交換環(huán)的一般研究來(lái)源于E．諾特．她對(duì)一般諾特環(huán)進(jìn)行公理化，證明準(zhǔn)素分解定理從而奠定交換環(huán)論乃至抽象代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其后克魯爾(W．Krull，1899 1971)給出系統(tǒng)的研究，他還引進(jìn)了最值得注意的局部環(huán)．四十年代，薛華荔、柯恩(I．S．Cohen，1917 1955)及查瑞斯基(O．Zariski，1899 1986)對(duì)局部環(huán)論進(jìn)行了系統(tǒng)的研究．3．群論19世紀(jì)末抽象群開(kāi)始成為獨(dú)立研究的對(duì)象，當(dāng)時(shí)主要問(wèn)題仍是以置換群為模式的有限群，問(wèn)題涉及列舉給定階數(shù)的所有群以及群的可解性的判據(jù)．當(dāng)時(shí)主要的定理是由挪威數(shù)學(xué)家西洛(L．Sylow，1832 1918)在 的．而19世紀(jì)90年代群論最主要成就是群表示論的出現(xiàn)，它是由德國(guó)數(shù)學(xué)家福洛賓尼烏斯奠定的．后由他的學(xué)生舒爾(I．Schur，1875 1941)所發(fā)展，成為研究群論不可缺少的工具．所謂群表示即是把群具體實(shí)現(xiàn)為某種結(jié)構(gòu)的自同構(gòu)群，例如域F上的有限維線性空間的線性變換群，通常是把群的元素與F上的n n可逆矩陣相對(duì)應(yīng)．在英國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩塞德(W．Burnside，1852 1927)的經(jīng)典著作《有限階群論》(Theory of Groups of Finite Order)第二版(1911)已經(jīng)進(jìn)行綜述并給出應(yīng)用．對(duì)于無(wú)窮階的離散群，也有一些重要的研究，其中重要的是與數(shù)理邏輯有關(guān)的 字的問(wèn)題 ，即兩個(gè)符號(hào)序列何時(shí)相等，對(duì)于有限生成的具有有限個(gè)關(guān)系式的群，1955年左右蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家諾維科夫( C Hовиков，1901 1975)、美國(guó)數(shù)學(xué)家布里頓(J．L．Britton)和布恩(W．Boone，1920 1983)證明一般的字的問(wèn)題是不可解的，也就是不存在一個(gè)普遍的算法來(lái)判定兩個(gè)字是否相等，但是另一方面德國(guó)數(shù)學(xué)家馬格努斯(W．Magnus，1907 )在1932年解決一個(gè)關(guān)系式的有限生成群的字的問(wèn)題．另一個(gè)重要的問(wèn)題是伯恩賽德問(wèn)題，他問(wèn)一個(gè)有限生成的群如果其所有元素都是有限階的，該群是否有限，這個(gè)問(wèn)題一直到1964年由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家考斯特利金(?。唰悃洄猝讧堙讧?，1929 )舉出例子而得出否定的回答．另外還有一個(gè)狹義的伯恩賽德猜想，即有限生成群當(dāng)所有元素x滿足xn＝0是有限群，現(xiàn)在知道當(dāng)n＝2，3，4，6時(shí)，狹義伯恩賽德猜想成立，但如果n相當(dāng)大，諾維科夫和布里頓等人也舉出反例．
