解放軍文職招聘考試計算數(shù)學(xué)-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 20:27:04計算數(shù)學(xué)長期以來，數(shù)學(xué)一直以數(shù)值計算為其最主要的任務(wù)，大量數(shù)學(xué)研究的目的無非是建立算法并不斷加以改進，使之算得準、算得快、算得容易、方便，得出令人滿意的結(jié)果．20世紀計算機的出現(xiàn)，根本改變了計算數(shù)學(xué)這一分支，對數(shù)學(xué)及其他科學(xué)也產(chǎn)生革命性的影響．1947年馮 諾伊曼等人發(fā)表的 高階矩陣的數(shù)值求逆 標志著數(shù)值分析這門學(xué)科的誕生．其目的不僅要建立優(yōu)秀的算法，特別是適用于計算機的程序，而且要對算法進行比較和分析，特別是對誤差分析穩(wěn)定性收斂速度以及計算量、存貯量等要進行細致的研究，其后產(chǎn)生一系列的有效方法，如烏拉姆(S．Ulam， 1909 1984)等創(chuàng)造的蒙特卡羅法以及有限元法、稀疏矩陣、樣條函數(shù)法、快速傅里葉變換(1965)等一系列行之有效的方法．各種數(shù)值代數(shù)、數(shù)值積分以及解各種方程的方法也有許多改進及研究．針對具體問題也產(chǎn)生了計算力學(xué)、計算流體力學(xué)、計算物理學(xué)、計算化學(xué)等等新興分支，成為與實驗互補的科研手段．60年代初在基礎(chǔ)研究方面還產(chǎn)生了計算復(fù)雜性理論，提出一系列基本的與計算有關(guān)的理論問題．數(shù)學(xué)物理學(xué)的問題大都化成微分方程，對于這些方程的分析方法及數(shù)值方法的發(fā)展簡述如下：1．常微分方程從天體力學(xué)的三體問題到各種非線性自由振動及受迫振動問題，許多實際問題都轉(zhuǎn)化為解常微分方程的問題．一般來講，常微分方程，特別是非線性常微分方程，找不到精確的解析解，甚至在有解析解時，也不能由常用的函數(shù)表出，因此，從19世紀晚期，人們就致力于尋找好的求近似解析解的方法，而第二次世界大戰(zhàn)以后，更促進各種數(shù)值方法的改進及發(fā)展．最早的近似方法是龐加萊所發(fā)展起來的攝動方法，現(xiàn)在已成為數(shù)學(xué)的一分支 攝動理論．最早它是瑞典天文學(xué)家林德斯泰特(Lindstedt)在1883年為解天體力學(xué)一個復(fù)雜問題提出來的．為了避免長期項的出現(xiàn)，龐加萊在1892年對于方程嚴格證明存在定理，從而使該方法合法化．而對于非線性振動中常見的方程(其中f是t的周期函數(shù)， 是小參數(shù))，則由弗瑞德利克斯等人(1942 1943)及斯托克(J．J．Stoker， 1905 )于1950年所解決．同時蘇聯(lián)克雷洛夫(H．M．Крылов，1879 1955)及博戈留波夫(H．H．Боголюбов，1909 1991)在1943年發(fā)展了范德波(Van der Pol)于1926年首創(chuàng)的方法，發(fā)展了一套平均法，后來在研究非線性振動時常用．另外一種所謂調(diào)和均衡法首先由達芬(G．Duffing)在1918年提出，應(yīng)用也很廣泛．從20年代起，問題更集中于奇異攝動問題(如小參數(shù)ε出現(xiàn)于高階導(dǎo)數(shù)項和大參數(shù)問題)．最早是杰夫瑞斯(H．Jeffreys， 1891 )從1924年起發(fā)表四篇論文研究馬丟方程解法，其后溫采爾(G．Wentzel，1898 )、克拉默斯(H．Kramers，1894 1952)、布理魯因(L.Brillouin，1889 1969)獨立發(fā)展成解薛定諤方程的W K B方法．另外還有蘭格(R.E.Langer，1894 )在1931年提出并由奧立佛(Oliver)發(fā)展起的LO方法，對于空氣動力學(xué)許多問題中產(chǎn)生的強奇異性，1949年由萊特希爾(M．S．Lighthill，1924 )引進自變量的非線性變換，使得龐加萊正則攝動方法也能產(chǎn)生有效漸近解，這方法于1953年由郭永懷，(1909 1968)發(fā)展后被命名為PLK方法1955年華沙(W．Wasow，1909 )把這個經(jīng)驗方法加以系統(tǒng)化．解常微分方程的數(shù)值方法還有不少，應(yīng)用最廣泛的是差分方法．最早可追溯到18世紀，其后有相當大的改進．2．偏微分方程偏微分方程是由物理學(xué)、幾何學(xué)、函數(shù)論等提出來要求求解的問題，從18世紀中葉起，二百多年來對于各種類型的方程進行大量的研究，只有到第二次世界大戰(zhàn)之后，才有比較系統(tǒng)的研究．但應(yīng)用問題，特別是非線性問題，仍然是具體問題具體分析，缺乏統(tǒng)一的方法，許多問題發(fā)展了有效的數(shù)值解法．19世紀以來，研究最多的有波動方程、熱傳導(dǎo)方程及位勢方程，對于彈性力學(xué)方程及麥克斯韋方程組也有許多進展，而流體力學(xué)方程，特別是有粘性的不可壓縮流體納維爾 斯托克斯方程則有許多困難．進入20世紀以后，一系列新的方程出現(xiàn)了：如邊界層方程、薛定諤方程、反應(yīng)擴散方程等等．求解偏微分方程的過程推動了分析的發(fā)展：如傅里葉分析及各種積分變換、復(fù)變函數(shù)論、變分法、正交函數(shù)論、漸近展開、位勢理論等等．在求解偏微分方程的近似方法及數(shù)值方法當中，較常用的有變分方法、有限差分方法及有限元方法等．變分方法來源于黎曼為解決狄利克雷問題所提出的狄利克雷原理，該原理雖遭魏爾斯特拉斯的批判，但在1900年被希爾伯特恢復(fù)其合法性．他的做法是直接求出泛函極值的最小系列，從而解對應(yīng)的邊值問題．希爾伯特的學(xué)生黎茲(W．Ritz，1878 1909)在1908年應(yīng)用希爾伯特的思想提出黎茲方法，他首先把解展成完 小序列來逼近解．對于本征值問題Au＝ u，可以用瑞利商為泛函來通過黎茲方法解決．蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伽遼金(Б．Г．Галёркин，1871 1945)改變決定系數(shù)的方法，可用于更為一般的問題，包括初值問題，這類方法統(tǒng)稱黎茲 伽遼金方法．最常用的數(shù)值方法是有限差分方法，其歷史可追溯到歐拉，它以差商代微商，將微分方程化為差分方程．它適用于各種類型方程．關(guān)鍵問題是收斂性及穩(wěn)定性問題．1928年，庫朗、弗瑞德里克斯及盧伊征明三大典型方程的典型差分格式的收斂性定理，為該方法的應(yīng)用打下基礎(chǔ)，第二次世界大戰(zhàn)之后，由于計算機的運用，差分方法做為有效的數(shù)值方法得到有效的發(fā)展．1948年馮 諾伊曼對于無粘性流體的非線性雙曲型方程，為避開激波引出的間斷性，引進人工粘性項，為此設(shè)計差分方法是現(xiàn)代流體力學(xué)數(shù)值計算主要方法．在論文中他引進穩(wěn)定性這個十分重要的概念，并給出穩(wěn)定性的必要條件．1956年拉克斯(P．D．Lax，1926 )及里希特邁爾(R．D． Richtmyer，1910 )建立了一般差分格式的收斂性及穩(wěn)定性等價的定理，它對實際計算中誤差積累問題有著重要意義．在戰(zhàn)后的數(shù)值方法中，有限元方法是另一個最常用的方法．它可以看成是變分方法及差分方法有機的結(jié)合，其思想可追溯到庫朗1943年的論文．1956年起一些工程人員在處理結(jié)構(gòu)工程問題時又獨立發(fā)現(xiàn)，60年代開始引進連續(xù)體的單元剖分，逐步明確有限元法是變分原理加剖分逼近的思想并建立數(shù)值分析的理論基礎(chǔ)．
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發(fā)布時間：2017-11-22 19:25:00代數(shù)學(xué)公元820年，花拉子米寫了一本《代數(shù)學(xué)》．它的阿拉伯文書名是《ilm al-jabr wa lmuqabalah》．比較流行的一種說法認為現(xiàn)在西文中代數(shù)學(xué)一詞algebra由此書名中的al－jabr脫胎而來．a(chǎn)l－jabr原意是 還原 ，根據(jù)上下文的意思，是指把負項移到方程另一端變成正項，方程才能平衡．muqabalah意即 化簡 或 對消 ，是指方程兩端可以消去相同的項或合并同類項．書名直譯應(yīng)為《還原與對消的科學(xué)》．a(chǎn)l－jabr譯成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra則逐漸成為代數(shù)學(xué)這門科學(xué)的名稱．這一名稱的起源完全符合代數(shù)學(xué)本身的特點．代數(shù)的基礎(chǔ)就是脫離具體數(shù)字以一般的形式來考慮算術(shù)運算，它的課題首先是提出解方程的變形規(guī)則．花拉子米正是以某種變形規(guī)則的名稱來為自己的書命名，從而體現(xiàn)了代數(shù)學(xué)的真髓．《代數(shù)學(xué)》用十分簡單的例題講述了解方程的一般原理．它的條理清楚、通俗易懂．正象花拉子米在序言中所說： 在這本小小的著作里，我所選取的材料是數(shù)學(xué)中最容易和最有用途的．是人們在處理下列事物中經(jīng)常需要的：在繼承遺產(chǎn)、分配財產(chǎn)、審理案件、商品交易，以及丈量土地、挖掘溝渠等各種場合中， 《代數(shù)學(xué)》由三部分組成：第一部分講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)，第二部分論及各種實用算術(shù)問題，最后一部分(也是最大的一部分)列舉了大量的關(guān)于繼承遺產(chǎn)的各種問題．在第一部分里，花拉子米系統(tǒng)地論述了六種類型的一次和二次方程的解法．這些方程由下列三種量構(gòu)成：根、平方、數(shù)．根相當于現(xiàn)在的未知數(shù)x，平方就是x2，數(shù)是常數(shù)項．《代數(shù)學(xué)》完全用文字敘述，沒有出現(xiàn)任何字母和縮寫符號．為了表達方便起見，我們同時用現(xiàn)代的符號來表示這六種方程：1．平方等于根 ax2=bx2．平方等于數(shù) ax2＝c3．根等于數(shù) ax=c4．平方和根等于數(shù) ax2＋bx=c5．平方和數(shù)等于根 ax2＋c＝bx6．根和數(shù)等于平方 bx＋c＝ax2《代數(shù)學(xué)》的前六章，依次討論了上述六種類型方程的解法．例如，第四章有這樣一個問題： 一個平方數(shù)及其根的十倍等于三十九 ．此問題即方程x2＋10x＝39．花拉子米把求解過程敘述為： 取根數(shù)目之半，在這里就是五，然后將它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，開平方得八，再減去根數(shù)的一半，即五，余三．這就是根． 用現(xiàn)代的符號表示這一過程，即對于一般方程x2＋px＝q，上述結(jié)果相當于給出求根公式在第五章，花拉子米求出了方程x2+21＝10x的兩個正根，相當于的結(jié)果小于自由項時，開平方是不可能的，此時方程無根．這相當于指出我們現(xiàn)在稱之為判別式的必須非負．以上六種類型包括了具有正根的一次、二次方程的所有可能情形．作者的講解是如此地詳盡和系統(tǒng)，使讀者很容易掌握其解法．在這種意義上，花拉子米后來被冠以 代數(shù)學(xué)之父 的稱號．從第七章開始，花拉子米轉(zhuǎn)向方程的根的幾何證明．例如，對于方程x2＋10x＝39，花拉子米給出了兩種不同的幾何證明．第一種證法是在邊長為x的正方形的四個邊上向外作邊長為x和形，然后把圖形補充為邊長為(x＋5)的大正方形(圖6．3)．在兩種方法中，花拉子米都利用已知方程x2＋10x＝39求出大正方形的面積為64，然后開方，再求出x來．花拉子米的幾何證明明顯地受希臘幾何學(xué)的影響，許多證明都可以在歐幾里得《幾何原本》的第Ⅱ篇中找到原型．花拉子米之后，埃及學(xué)者艾布卡米爾(Abū Kāmil，約850 約930)首先繼承了他的代數(shù)學(xué)并使之發(fā)揚光大．關(guān)于艾布卡米爾的生平，現(xiàn)在知道得很少．據(jù)有關(guān)傳記材料記載，艾布卡米爾是伊斯蘭文化全盛時期(9世紀中至11世紀)著名的數(shù)學(xué)家．他在算術(shù)、代數(shù)和實用幾何方面都有很大貢獻．艾布卡米爾的一些數(shù)學(xué)手稿和譯文已經(jīng)保存下來，其中最重要的一部論著是大約寫于公元900年的《代數(shù)書》(Kitab fi al-jabr wa l－muqabala)．《代數(shù)書》問世后，在很長時間內(nèi)被廣泛利用，在傳入西方各國之后產(chǎn)生很大影響，因此在數(shù)學(xué)史界被認為是艾布卡米爾碩果僅存的著作．《代數(shù)書》主要討論二次方程．艾布卡米爾繼承了花拉子米關(guān)于二次方程的理論，并使之得到進一步的發(fā)展．書中有大量題目出自花拉子米的《代數(shù)學(xué)》．此外，艾布卡米爾還用相當大的篇幅研究那些不同類型的方程并給出多種解法．花拉子米的《代數(shù)學(xué)》中列舉了40個問題，而艾布卡米爾的《代數(shù)書》中共有69個問題．艾布卡米爾是第一個隨意使用未知數(shù)的高次冪的伊斯蘭數(shù)學(xué)家．在他的著作中，出現(xiàn)了直至x8的各次方冪(x7除外)．他稱x3為 立方 ，稱x4為 平方平方 ，稱x5為 平方平方，根 ，x6 立方立方 ，x8 平方平方平方平方 ．事實上，艾布卡米爾對這些方冪所采用的名稱是按指數(shù)相加的原則施行的．在《代數(shù)書》中，艾布卡米爾用大量篇幅闡述了代數(shù)運算法則．包括單項式、二項式及其它各種形式的代數(shù)運算．他還提出了求兩個二次根式的和與差的一般運算法則：有趣的是，這些公式又多次出現(xiàn)在后世數(shù)學(xué)家的著作中．例如，在11世紀阿拉伯數(shù)學(xué)家凱拉吉，印度12世紀數(shù)學(xué)家婆什迦羅(Bhaskara Ⅱ，1114 1185)，以及意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契(L．Fibonacci 約1170 約1240以后)的書中都出現(xiàn)了完全一樣的公式．艾布卡米爾不僅專門討論了二次根式的運算法則，而且把這些結(jié)果運用到二次方程的理論中去．他所列舉的方程，不僅根可以是無理數(shù)，而且方程的系數(shù)也可以是二次根式．他這樣毫無顧忌地使用無理數(shù)，在花拉子米之后是絕無僅有的．正因為出現(xiàn)了無理數(shù)系數(shù)，而使解題過程十分復(fù)雜，艾布卡米爾也不得不放棄幾何證明．《代數(shù)書》中，出現(xiàn)了許多十分高超的解題技巧和復(fù)雜的運算過程．艾布卡米爾的代數(shù)著作在兩個方面比花拉子米的《代數(shù)學(xué)》有明顯的進步．一方面，理論水平有所提高．如前所述，艾布卡米爾不僅對各類方程的解法都指出其任意性，而且還十分注意用代數(shù)恒等式來化簡方程，他還特別指出了代數(shù)恒等式的普遍意義．另一方面，艾布卡米爾的代數(shù)學(xué)更具有一般性．他引進了大量的繁瑣的代數(shù)運算(也用文字敘述)，在具無理數(shù)系數(shù)的方程中，已放棄了幾何解法，這無疑是一大進步．艾布卡米爾的《代數(shù)書》問世后產(chǎn)生了重要的影響．傳入歐洲后對宣傳花拉子米的代數(shù)學(xué)起到很大作用．它的部分內(nèi)容還被斐波那契收入其《實用幾何》(Practica geometriae 1220)中，這是一部專門討論代數(shù)在幾何中的應(yīng)用的著作．繼花拉子米、艾布卡米爾之后，另一個對代數(shù)學(xué)有重要貢獻的是11世紀巴格達的學(xué)者凱拉吉(al－Karajī卒于1019 1029年間)．凱拉吉以兩部數(shù)學(xué)著作聞名于世．一本是《算術(shù)全書》(hisāb al－jummal)，其中有關(guān)代數(shù)學(xué)的章節(jié)可以認為是他寫于1010年的內(nèi)容極其豐富的代數(shù)著作的序篇．這部代數(shù)書的書名是．《發(fā)赫里》(ал-Фахри，al-Fakhr )．根據(jù)凱拉吉的自述，他在寫這本書的過程中，忍受著苛政與暴力的干預(yù)，久久未能完成．后來遇到一位有遠見的執(zhí)政者 發(fā)赫里(Fakhr al-Mulk)，他是學(xué)術(shù)的庇護者．在他的支持下凱拉吉才寫完了這本書．為了紀念這位恩主，就以他的名字來命名這本書．《發(fā)赫里》包括卷頭語和兩大部分．在卷頭語中，凱拉吉闡明了借助于已知量求未知量是代數(shù)學(xué)這門學(xué)科的宗旨．并指出，具有一般性的代數(shù)運算法則是求未知量的有力工具．這就進一步明確了解方程是代數(shù)學(xué)的基本課題．11世紀，阿拉伯學(xué)者已經(jīng)熟悉了丟番圖的《算術(shù)》書．凱拉吉在《發(fā)赫里》中大量地引用《算術(shù)》書的內(nèi)容，他不僅把先輩們關(guān)于二次方程的理論網(wǎng)羅殆盡，而且無論在理論還是應(yīng)用方面都出現(xiàn)了一系列新內(nèi)容．他引進的代數(shù)運算比艾布卡米爾的更豐富、更系統(tǒng)，他所選用的習(xí)題比花拉子米甚至丟番圖的更多樣化．例如，凱拉吉給出了下面關(guān)于三次根式運算的關(guān)系式：特別引人注意的是，凱拉吉系統(tǒng)地研究了含有三項式的由未知數(shù)的任意次冪及其平方所組成的方程，如ax2n+bxn=c，ax2n+c=bxn，bxn+c=ax2n，ax2n+m=bxn+m+cxn．其中a，b，c都是正數(shù)．這類方程原則上都能化為二次方程，卡拉吉分別以4次、6次和7次方程為例說明求xn的方法．當然，零解他沒有考慮在內(nèi)．為了求出上述各方程的根，凱拉吉還給出了開任意n次方根的方法．此外，凱拉吉還應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明了下列求和公式在凱拉吉的著作中，可以發(fā)現(xiàn)大量的來源于印度和希臘的材料，也有相當多的內(nèi)容體現(xiàn)了伊斯蘭各民族古老的文化傳統(tǒng)．總之，《發(fā)赫里》一書由三種文化匯合而成，我們還很難估計出各種文化所占的比例．作為方程學(xué)說的代數(shù)學(xué)，它的發(fā)展在波斯數(shù)學(xué)家奧馬海亞姆的著作中達到了新的高度．他在自己的代數(shù)著作中，明確地把代數(shù)學(xué)定義為解方程的科學(xué)： 代數(shù)學(xué)是一門有技巧的科學(xué)，它的研究對象是純粹的數(shù)(正有理數(shù))和可度量的量(指幾何上的各種量：線、面、體等)．雖然這些數(shù)和量是未知的，但可以通過已知的 東西 來確定它們．精通這門科學(xué)在于掌握確定算術(shù)的和幾何的未知量的方法． 奧馬海亞姆的這種定義，直到十九世紀末都保持著它的意義．在阿拉伯的代數(shù)學(xué)文獻中，還有大量的不定方程問題．例如，艾布卡米爾就寫過專門論述線性不定方程整數(shù)解的著作 《算術(shù)技術(shù)珍品》有三種情形：唯一，無解，多組解．對每一種情形他都給出了具體的例子．值得注意的是，艾布卡米爾所舉的6個例子都以中國古代算書《張丘建算經(jīng)》中 百雞問題 的形式出現(xiàn)．印度9世紀的數(shù)學(xué)家也曾研究過 百雞問題 ，因此，人們猜測， 百雞問題 是從中國經(jīng)印度傳入阿拉伯國家的．《算術(shù)技術(shù)珍品》中第1個問題相當于下列方程組艾布卡米爾求出了這個方程組的唯一解是x＝19，y=80，z=1．第5題相當于方程組正整數(shù)x要在y＝160時才得到，不符合第一個方程，因此問題無解．第6題是艾布卡米爾關(guān)于不定方程的一個最杰出的代表作，相當于下列方程組消去v得或者艾布卡米爾構(gòu)造了兩列整數(shù)解．他首先取y＝1，3，5， ；z＝3，6，9， ；u＝2，6，10，由問題的實際背景分析得知以上各未知量應(yīng)滿足y 59，z 54， u 50，由此可得出1443組解．然后，又取y＝2，4，6， ；z=3，6，9， ；u＝4，8，12，并根據(jù)題意有y 58，z 51， u 52，從而又得出1233組解，此方程組總共有2676組解．在凱拉吉的《發(fā)赫里》中，也出現(xiàn)了一些關(guān)于不定方程的問題，其大部分取材于丟番圖的《算術(shù)》書．這些具有東方數(shù)學(xué)傳統(tǒng)特點的題材是很引人入勝的．例如，有一個題目相當于下列方程組它最初出現(xiàn)在丟番圖的《算術(shù)》中，后來傳到歐洲，在斐波那契的著作中再現(xiàn)．后者對某些系數(shù)作了一些變動．《發(fā)赫里》中，還出現(xiàn)了形如y2＝ax2＋bx＋c的不定方程，凱拉吉對這種方程進行了一般的討論．除了一次，二次的方程外，凱拉吉還討論了高次不定方程．例如，對方程組他設(shè)y=mx，z＝nx，則由原方程可得m2-n2=a-b，則問題轉(zhuǎn)化為求兩數(shù)m，n，使其平方之差等于已知數(shù)a－b．而這個問題他又專門進行了研究．此外，凱拉吉還研究了方程x3+y3＝z2，x2－y2＝z3，x2 y3＝z2，x3＋10x2＝z2的整數(shù)解和x2-y3＝z2，x3＋y2=z3的分數(shù)解等等．阿拉伯代數(shù)學(xué)也有很大的局限性．首先，阿拉伯人沒有引進負數(shù)(艾布瓦法的著作中出現(xiàn)了唯一的例外)．為了避免負數(shù)，他們對方程進行了細致的分類．解方程過程中，放棄了負根和零根．其次，阿拉伯人沒有使用字母或縮寫符號，他們的代數(shù)著作完全用文字敘述．這兩方面都比印度人倒退了一步．
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發(fā)布時間：2017-11-22 19:22:28印度數(shù)學(xué)第一節(jié) 綜述印度是世界上文化發(fā)達最早的地區(qū)之一．印度的早期歷史分為史前時期(又稱前哈拉帕?xí)r期，公元前2300年以前)和印度河文明時期(又稱哈拉帕?xí)r期，公元前2300 公元前1750)．在印度次大陸的大片地域內(nèi)，均大量發(fā)現(xiàn)石器時代晚期的遺址．這些遺址表明，早在公元前6000至3000年，印度居民過著狩獵采集生活．從公元前3500年俾路支最早出現(xiàn)居民點到公元前2300年印度河城市文明的興起，大體可以分為半游牧、畜牧業(yè)發(fā)達和地域性村社三個階段．公元前2300年左右，前哈拉帕文化結(jié)束，印度河文明開始．印度河文明是當?shù)鼐用裨谔囟ōh(huán)境中的卓越創(chuàng)造，至今已發(fā)現(xiàn)70多處遺址，最著名的是摩亨卓 達羅(在信德)和哈拉帕(在旁遮普)．摩亨卓 達羅的遺址清楚地顯示出城市營建的統(tǒng)一規(guī)劃．在建筑遺跡和某些遺物如彩陶、雕塑品、貝殼和各種材料作成的印章上刻有一些古代銘文．這些保存完好的古代銘文顯示了哈拉帕文化的高度發(fā)達，而從貝殼上刻的算術(shù)線條可以推斷，數(shù)學(xué)知識的某些積累是哈拉帕文化的成分之一．公元前1750年左右，印度河文明開始衰落．印度最古老的歷史文獻是印度 雅利安人的作品《吠陀》．《吠陀》所記載的時代稱為吠陀時代．在這個時代的前期，印度 雅利安人活動在印度西北部，而在其后期，印度 雅利安人進入恒河中下游地區(qū)．在其內(nèi)部，出現(xiàn)了婆羅門、剎帝利、吠舍、首陀羅四個種姓．不久，部落共同體逐漸過渡到地區(qū)性共同體，奴隸制國家開始形成．公元前6至前5世紀，印度東部出現(xiàn)了十六個國家．佛教和耆那教開始成為占有重要地位的兩大宗教．公元前327年亞歷山大侵入印度，不久即撤退．前325年旃陀羅 笈多推翻難陀王朝，建立了孔雀王朝，幾乎在整個印度次大陸建立了中央集權(quán)的統(tǒng)治．阿育王是這個王朝最有作為的皇帝，他大力提倡佛教，并向鄰國派出傳教使團．公元前185年該王朝滅亡，繼之而起的是巽伽王朝．公元前150 公元300年，印度次大陸陷于混亂．北印度的笈多王朝(320 540)開始了印度的古典時期，印度的經(jīng)濟、文化空前繁榮．在這一時期產(chǎn)生了很多重要的科學(xué)文獻，出現(xiàn)了一批著名的天文學(xué)著作，其中包括大量的數(shù)學(xué)知識．6 7世紀，在印度形成了特殊形式的封建主義，種姓制度得到進一步發(fā)展．大量的屬于最低種姓的賤民 不可接觸者 的生活處境十分艱難，這促成了八世紀阿拉伯人入侵信德地區(qū)后伊斯蘭教的傳播．與伊斯蘭國家的聯(lián)系對印度科學(xué)的進步有重要意義．7至8世紀印度學(xué)者的著作已為阿拉伯哈利發(fā)所了解．11世紀初，伽色尼王國的馬哈茂德入侵；12世紀后期，古爾王國控制了北印度．1206年，古爾王國駐印度的總督自立為蘇丹，建立奴隸王朝，開始了長達300多年的德里蘇丹時期．這一時期形成了中央集權(quán)的穆斯林政治體系，伊斯蘭文化大量引進．在南印度，14世紀出現(xiàn)了兩個強國，穆斯林統(tǒng)治的巴赫馬尼王國和印度教徒統(tǒng)治的維查耶那加爾王國．1526年巴伯爾率軍占領(lǐng)德里，建立莫臥兒帝國．從此，印度分散的教派、分散的村社走上了民族統(tǒng)一的道路，成為當時世界上最富有、最強大的國家之一．在這樣復(fù)雜的歷史條件下，科學(xué)的發(fā)展在各時期不同程度地受到政治動亂的抑制，但自古以來數(shù)學(xué)始終是很受重視的科目．相傳，佛祖悉達多 喬達摩(即釋迦牟尼，公元前623 前544)幼時受傳統(tǒng)的婆羅門教育，用八年時間專門學(xué)習(xí)語文和數(shù)學(xué)．在印度數(shù)學(xué)的發(fā)展始終與天文學(xué)聯(lián)系在一起．數(shù)學(xué)著作大都是天文學(xué)著作中的某些篇章．最早的數(shù)學(xué)著作《繩法經(jīng)》(S．ulvasūtras)出現(xiàn)在吠陀時代，它包含在古代婆羅門教的經(jīng)典中，專講祭祀禮儀，其中包含畢達哥拉斯定理等數(shù)學(xué)知識．在以后的大約1000年中，缺少可靠的史料，數(shù)學(xué)的發(fā)展所知甚少．公元500年以后，印度數(shù)學(xué)獲得了較大的發(fā)展，印度數(shù)學(xué)的成就在世界數(shù)學(xué)史上占有重要地位．許多數(shù)學(xué)知識由印度經(jīng)阿拉伯國家傳入歐洲，促進了歐洲中古時期數(shù)學(xué)的發(fā)展．由歷史資料提供的情況斷定，希臘和印度兩國之間科學(xué)知識有一定的交流，但是每一個民族都按照自己的風(fēng)格或習(xí)俗發(fā)展科學(xué)．希臘人和印度人發(fā)展數(shù)學(xué)的道路在許多方面都不相同．希臘數(shù)學(xué)遵循著嚴格的邏輯敘述，所以幾何學(xué)獲得了重大的發(fā)展．印度人則相反，不去求得嚴格的證明，而主要是發(fā)展實用的數(shù)學(xué)，因此算術(shù)、代數(shù)和三角具有優(yōu)勢．在5至16世紀，印度出現(xiàn)了許多著名的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家和一批杰出的著作．這些著作都是用印度的宗教和官方語言梵文寫的，就象伊斯蘭國家中的阿拉伯語和中世紀西歐的拉丁語一樣．印度數(shù)學(xué)著作的最大特點是敘述得過于簡練，命題或定理的證明常被省略．運算法則的表述也極簡短，又常常以詩歌形式出現(xiàn)，再加上濃厚的宗教色彩，致使這些著作更加晦澀難讀．I，476 約550)．他是在印度首先運用代數(shù)方法的人．499年，他用 書》)．這部著作是印度歷數(shù)書天文學(xué)的一次系統(tǒng)化，并概述了當時的數(shù)學(xué)知識．書中大部分討論天文學(xué)和球面三角學(xué)，也介紹了算術(shù)、代數(shù)和平面三角中的若干法則．他還算出了 的近似值3．1416．瓦拉哈米希拉(Varāha－Mihira)是6世紀著名學(xué)者．他通曉哲學(xué)、天文學(xué)和數(shù)學(xué)，是《五大歷數(shù)全書匯編》的作者．此書是希臘、埃及、羅馬和印度天文學(xué)的一部提要，最重要的一部分是《太陽的知識》．(Sūrya Siddhānta)．其內(nèi)容并不是有關(guān)太陽的知識，而是由太陽神傳授的知識，具有神話色彩．另外還包括四部歷數(shù)書．這部著作的計算圖表是以希臘算法和亞歷山大算法為基礎(chǔ)推算的．婆羅摩笈多(Brahmagupta， 598 約665)是7世紀最著名的天文學(xué)家，在印度中部城市烏賈因工作．628年他寫了一部《婆羅摩修正體系》(Brāhmasphutasiddhānta，西方又譯《宇宙的開端》)．其中以詩的形式敘述了印度天文體系，有兩章是講數(shù)學(xué)的，包括等差級數(shù)，二次方程和各種有關(guān)面積、體積的幾何定理的證明．他大量地把代數(shù)應(yīng)用于天文學(xué)．千余年內(nèi)印度最有成就的數(shù)學(xué)家是婆什迦羅 Ⅱ(Bhāskara，1114 1188)．他作為古代印度最重要的數(shù)學(xué)中心烏賈因天文臺的領(lǐng)導(dǎo)人，是婆羅摩笈多的嫡系繼承人．他所著《天文系統(tǒng)極致》(Sinddhāntaāsiromani，1150)可以認為是印度數(shù)學(xué)的最高成就．《天文系統(tǒng)極致》包括四部分，第一部分名為《麗羅娃提》(Lilāvati)，主要內(nèi)容講算術(shù)． 麗羅娃提 意為美女，對此有兩種解釋，一種認為婆什迦羅Ⅱ以此書獻給其女兒，另一種則認為作者把數(shù)學(xué)本身比喻為美女．第二部分為《種籽計數(shù)論》，內(nèi)容為代數(shù)學(xué)．其余部分是講述天文學(xué)的．婆什迦羅Ⅱ繼承了婆羅摩笈多和其他前輩的工作，填補了他們的許多缺漏．《麗羅娃提》共有13章．第1章給出幾個計算表；第2章講述整數(shù)和分數(shù)運算，包括計算平方根和立方根；第3章介紹解算術(shù)問題的各種方法(如單設(shè)法等)；第4章討論來自希臘和中國的應(yīng)用問題；第5章給出一些算術(shù)級數(shù)的求和法；第6 11章的內(nèi)容是幾何學(xué)，主要是面積和體積的計算和一些可以化為線性方程的實際問題；第12章講述不定分析；第13章是組合學(xué)的內(nèi)容．《種籽計數(shù)論》由8章組成，其內(nèi)容是關(guān)于一次和二次代數(shù)方程的理論．他和婆羅摩笈多一樣，也引用了大量的縮寫符號．其第一章敘述正負數(shù)法則：第2 3章是一次和二次整系數(shù)不定方程的解法；第4章講一元和多元線性方程組；第5章研究二次方程，并給出畢達哥拉斯定理的兩個證明；第6章包含一些線性不定方程組的實例；第7 8章補充了二次不定方程的內(nèi)容．婆什迦羅Ⅱ的《天文系統(tǒng)極致》在印度有很大的影響，他的嫡孫在13世紀創(chuàng)建了一個專門研究此書的學(xué)派，以后的400多年間有許多數(shù)學(xué)家對此書進行了注釋．除了以上介紹的幾位最著名的學(xué)者及其著作外，下文將要提到的數(shù)學(xué)家還有阿耶波多Ⅰ的主要繼承人婆什迦羅Ⅰ(Bhāskara Ⅰ，629年在世)；9世紀在南印度邁索爾工作的馬哈維拉(Mahāvira，約850)；著有《計算精華》(Ganita－Sāra－sangraha)，內(nèi)容十分豐富；活躍在9 10世紀的數(shù)學(xué)家有施里德哈勒(Srīdhara)和阿耶波多 Ⅱ(Aryabhata Ⅱ)；14 15世紀著名的數(shù)學(xué)家有納拉亞訥(Nārāyana，約1356)和尼拉坎塔(Nīlakantna，約1444 1501之后)等等．1881年，在西北印度巴赫沙里附近出土了一部無名氏著的算術(shù)和代數(shù)手稿，其準確時間尚未確定，多數(shù)學(xué)者認為是6 8世紀的作品．我們稱之為《巴赫沙里手稿》．其中論述了不定方程和不盡根逼近等問題．
